Insegnamenti 

Advanced Topics in Nonlinear PDEs and Control Theory 

PhD Course 

Dottorato Consortile in Matematica, Università di Milano Bicocca – Pavia – Cattolica del Sacro Cuore – INdAM

Docenti:   Pierluigi Colli ed Elisabetta Rocca

Gennaio–Febbraio 2026 

Prima Parte (Pierluigi Colli)

Seconda Parte (Elisabetta Rocca): 

Lezione 1: Introduzione di un modello di phase-field per le dinamiche tumorali. Ipotesi modellistiche e sulle nonlinearità. 

Lezione 2: Dimostrazione del Teorema di esistenza di soluzioni deboli per il problema di Chauchy corrispondente al sistema di equazioni alle derivate parziali nonlineari con uno schema di Faedo Galerkin, disuguaglianze di interpolazione e di Gronwall. 

Lezione 3: Dimostrazione di unicità e dipendenza continua delle soluzioni dai dati. Un risultato di regolarità. 

Lezione 4: Nozioni di base di controllo ottimo e applicazioni. Il caso finito dimensionale. Estensione a Spazi di Hilbert. Un caso infinito dimensionale: l'equazione del calore. Dimostrazione dell'esistenza del controllo ottimo e introduzione delle condizioni necessarie (e sufficienti) di ottimalità. 

Lezione 5: Conclusione della dimostrazione della condizioni necessaria di ottimalità per il problema di controllo ottimo della temperatura in una equazione del calore. Introduzioone di un problema di controllo ottimo per il modello di phase-field per dinamiche tumorali. Il caso del controllo distribuito nell'equazione per il nutriente. Dimostrazione dell'esistenza di un controllo, introiduzione dei sistemi aggiunto e linearizzato. Bozza della dimostrazione di esistenza e unicità di soluzioni con il metodo di Faedo Galerkin. 

Lezione 6: Conclusione della dimostrazione della condizione necessaria di ottimalità per il problema di controllo ottimo (terapia antiangiogenetica) per il modello di dimamiche tumorali: dimostrazione della differenziabilità secondo Fréchet, riscrittura della condizione necessaria di ottimalità tramite le variabili aggiunte. Conclusione del corso con possibili sviluppi futuri. 

Riferimenti bibliografici: 

P. Colli, G. Gilardi, E. Rocca, J. Sprekels, Optimal distributed control of a diffuse interface model of tumor growth, Nonlinearity 30 (2017), 2518--2546.

S. Frigeri, M. Grasselli, E. Rocca, On a diffuse interface model of tumor growth, European J. Appl. Math., 26 (2015), 215--243.

F. Troeltsch, Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications, Graduate Studies in Mathematics Volume 112, AMS, 2009. 

Analisi Matematica A

Ingegneria Civile e Ambientale/Edile e Architettura
Primo semestre

Le lezioni per l'a.a. 25/26 si sono concluse.

Tutto il materiale relativo al corso è su Kiro.

Testo consigliato:

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

Eserciziario:

S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli

Modalità d'esame:

Gli esami dell'anno accademico 2025/26 sanno strutturati nel modo seguente:

L'esame consiste di due parti: Analisi A (primo semestre) ed Analisi B (secondo semestre).

Al termine di ciascuna parte sarà possibile per gli studenti accedere alle prove parziali.

Solo se superati entrambe i parziali lo studente potrà registrarsi online ad un appello di verbalizzazione dove verrà assegnato il voto finale (media dei parziali).

La prova parziale di Analisi A consiste di una prova scritta della durata di 2 ore seguita da una prova orale facoltativa.

Dopo la conclusione dello scritto parziale sarà comunicato l'elenco con i risultati via mail e gli studenti che avranno conseguito una votazione maggiore o uguale a 18/30 potranno decidere tenere il voto dello scritto oppure presentarsi alla prova orale.

Qualora l'esame dia esito negativo, lo studente deve presentarsi ad un appello parziale successivo.

Il ritiro, durante una qualunque prova d'esame, equivale al non superamento dell'esame stesso.

Durante le prove d'esame, non è consentito l'uso né di libri, né di appunti, né di calcolatrici tascabili, né di telefoni cellulari o altri dispositivi elettronici.

L'unico materiale didattico ammesso sono le tabelle degli sviluppi di Taylor.

L'iscrizione agli scritti è obbligatoria, e va effettuata on-line.

Le prove parziali d'esame di Analisi A si svolgeranno a partire dal mese di Gennaio.

Il VOTO di Analisi verrà registrato a libretto SOLO dopo aver superato entrambe i parziali di Analisi A e B. Per registrare il voto dovrete iscrivervi al primo appello di VERBALIZZAZIONE disponibile.

Argomenti di Teoria da conoscere per scritto ed orale (per il corso di Analisi A - primo  semestre)

Programma del Corso - Primo semestre

1. Numeri reali - Definizioni di: maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali.

2. Numeri complessi - Forma algebrica, forma trigonometrica o polare; operazioni sui numeri complessi (somme, prodotti, quozienti, potenze, complesso coniugato).

3. Successioni a termini reali - Definizioni di: successione; successione convergente o divergente o indeterminata; successione monotona. Principali teoremi sui limiti di successioni: confronto, prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata, permanenza del segno.

4. Funzioni reali di una variabile reale - Definizioni di: funzione; funzione limitata; funzione monotona (nei vari casi); funzione pari, funzione dispari; funzione periodica; funzione composta; funzione iniettiva e funzione inversa. Le principali funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche e loro inverse) e i loro grafici.

5. Limiti e continuità - Definizioni di: limiti di funzioni (nei vari casi); funzione continua in un punto; limiti destri e limiti sinistri. Punti di discontinuità e loro classificazione.

6. Derivate - Definizioni di: funzione derivabile in un punto; retta tangente alla curva-grafico di una funzione in un suo punto; derivate di ordine superiore. Punti di estremo e punti critici di una funzione.

7. Integrali - Definizioni di: integrale definito; primitiva e integrale indefinito; funzione integrale; integrale generalizzato o improprio (nei vari casi).

Temi d'esame Analisi A -   anni precedenti 

Complementi di Analisi Matematica 1

Fisica
Secondo semestre

Le lezioni per l'a.a. 25/26 inizieranno il 2 marzo 2026

Orario delle lezioni (aula 102):

Lunedi': 9-11 

Martedi': 9-11 

Giovedi' 9-11

Tutto il materiale relativo al corso è su Kiro.

Contenuti del Corso: 

• Equazioni differenziali.

• Spazi metrici, continuità.

• Calcolo differenziale in più variabili.

• Massimi e minimi liberi e convessità di funzioni in più variabili.

• Misura e integrazione in più variabili.

• Funzioni implicite e invertibilità locale.

• Estremi vincolati e forme differenziali

• Applicazioni alle equazioni differenziali.

• Teoremi della divergenza e di Stokes.

Equazioni di Evoluzione

Laurea Magistrale in Matematica
Secondo semestre

Orario delle lezioni: 

Tutto il materiale relativo al corso è su Kiro.

Contenuti del Corso: 

• Equazioni paraboliche ed iperboliche del secondo ordine lineari impostazione variazionale

• Equazioni di reazione diffusione e di Cahn Hilliard. Applicazione ai problemi di transizione di fase. 

Testi consigliati:

• H. Brezis, Operateurs Maximaux Monotones dans les Espaces de Hilbert, North Holland, 1973. 

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, 2002.

• J.C. Robinson, Infinite dimensional dynamical systems, Cambridge University Press, 2001.

• S. Salsa, Partial Differential Equations in Action. Springer, 2010.

• R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Applied Math. Sciences, Springer, 1988.

Advanced Mathematical Methods for Engineers 

Electronic Engineering

Till a.y. 23/24